Extrema of spatial branching processes - HAL UNIV-PARIS8 - open access Access content directly
Habilitation À Diriger Des Recherches Year : 2023

Extrema of spatial branching processes

Extrêmes des processus branchants spatiaux

Abstract

Un processus de branchement spatial est un système de particules dans lequel chaque individu évolue de façon indépendante. Les particules se déplacent pendant un temps aléatoire avant de se diviser en un nombre aléatoire d'enfants. Ces processus peuvent modéliser d'évolution au cours du temps de populations invasives, et trouvent de nombreuses applications en physique statistique, biologie évolutive, informatique, etc. On s'intéresse ici à des processus de branchement spatialement homogènes (marches aléatoires branchantes en temps discret, processus de Lévy branchants en temps continu), et particulièrement au comportement asymptotique des particules réalisant des déplacements extrêmes dans ces processus. On présente les principales étapes menant à la preuve de la convergence en loi de la position des particules extrémales d'un processus de branchement spatial homogène vers un processus de Poisson ponctuel d'intensité exponentielle, aléatoirement translaté et décoré. Dans un premier temps, on étudie les martingales additives associées au processus de branchement spatiaux, qui permettent de quantifier le nombre de particules se déplaçant dans une direction donnée. On étudie ensuite les points fixes de l'équation de régularisation, permettant de caractériser les mesures ponctuelles invariantes par l'évolution du processus de branchement. On montre enfin la convergence en distribution du processus extrémal, grâce à des arguments de tension et d'identification de la limite. On s'intéresse ensuite à l'effet de l'ajout d'un mécanisme de sélection, qui maintient la taille de la population constante au cours du temps. Cette sélection, basée sur la position des particules, modélise un phénomène de sélection naturelle favorisant la survie des individus les plus adaptés à leur environnement. Elle a un effet important sur la vitesse de propagation de la population, ainsi que sur sa généalogie. Des modèles intégrables de branchement-sélection permettent de faire de nombreuses conjectures sur le comportement asymptotique de ces processus.
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Origin : Files produced by the author(s)

Dates and versions

tel-04035127 , version 1 (17-03-2023)

Identifiers

  • HAL Id : tel-04035127 , version 1

Cite

Bastien Mallein. Extrema of spatial branching processes. Probability [math.PR]. Université Sorbonne Paris Nord, 2023. ⟨tel-04035127⟩
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