Towards a Bernstein presentation of the affine Hecke category
Vers une présentation de Bernstein de la catégorie de Hecke affine
Résumé
The affine Hecke algebra has a remarkable commutative subalgebra corresponding to the coroot lattice inside the affine Weyl group. Its nature is encoded in the Bernstein presentation and reveals some fundamental representation theoretic properties of the Hecke algebra. We consider categorifications of this algebra, namely the diagrammatic category or the category of equivariant parity sheaves on the affine flag variety. Then this subalgebra corresponds to a class of complexes (in the homotopy category) called Wakimoto sheaves. In this thesis we study these objects in affine type A_1. Firstly we determine completely the extension groups between them over characteristic zero fields. Secondly we describe a dg model which allows us to compute these groups in the antispherical category for arbitrary coefficients. To do so, we interpret these objects as Rouquier complexes. Over characteristic zero fields one can compute their minimal subcomplexes and use them to determine the extension groups. In general, we considera dg version of the category of Rouquier complexes, where the extension groups are encoded in the cohomology of the dg modules of morphisms. To study the latter, we extend the diagrammatic presentation of the Hecke category to one for this dg category. A key result is a general reduction of Rouquier complexes. Namely, over an arbitrary coefficient ring, they admit representatives in the homotopy category which are considerably simpler than the naive ones.
L'algèbre de Hecke affine admet une sous-algèbre commutative remarquable qui correspond au réseau des coracines dans le groupe de Weyl affine. Sa nature est encodée dans la présentation de Bernstein et contient d'importantes informations sur les représentations de l'algèbre. On considère des catégorifications de cette algèbre, par exemple la catégorie diagrammatique ou la catégorie des faisceaux à parité équivariants sur la variété des drapeaux affine. Cette sous-algèbre correspond donc à une classe de complexes (dans la catégorie homotopique) appelés faisceaux de Wakimoto. Dans cette thèse on étudie ces objets en type A_1 affine. Premièrement, on détermine complètement les groupes d'extensions entre eux sur des corps de caractéristique zéro. Deuxièmement on décrit un modèle dg qui permet de calculer ces groupes dans la catégorie antisphérique, pour des coefficients arbitraires. Pour faire cela, on interprète ces objets comme des complexes de Rouquier. Sur des corps de caractéristique zéro, on peut calculer leur sous-complexes minimaux et les utiliser pour déterminer les groupes d'extensions. En général, on considère une version dg de la catégorie des complexes de Rouquier, où ces groupes d'extensions correspondent à la cohomologie des dg-modules de morphismes. Pour étudier ces derniers, on étend la présentation diagrammatique de la catégorie de Hecke à cette catégorie dg. Un résultat clé est une réduction générale des complexes des Rouquier. Pour des coefficients arbitraires, ils admettent des représentants dans la catégorie homotopique qui sont considérablement plus simples que les représentants naïfs.
Origine : Fichiers produits par l'(les) auteur(s)
